論文 - 仲田　均

ON THE ERGODIC THEORY OF MAPS ASSOCIATED WITH THE NEAREST INTEGER COMPLEX CONTINUED FRACTIONS OVER IMAGINARY QUADRATIC FIELDS

Ei H., Nakada H., Natsui R.

Discrete and Continuous Dynamical Systems- Series A （Discrete and Continuous Dynamical Systems- Series A）  43 （ 11 ） 3883 - 3924 2023年11月

ISSN  10780947

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We consider the nearest integer complex continued fraction map associated to the Euclidean field Q( p -d) for each d = 1; 2; 3; 7; 11. For each map, we see that there is an absolutely continuous ergodic invariant probability measure. We construct the natural extension of each map on a subset of C×C. Then the invariant measure for this extension is derived from the hyperbolic measure on H3 and the density function of the absolutely continuous invariant measure for the nearest integer map is given as its marginal. For each case, we have a fundamental domain with a fractal boundary for the lattice generated by the set of integers of the imaginary quadratic fields Q( p -d), d = 1; 2; 3; 7; 11, through the construction of the natural extension except for only one case.

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On the existence of the Legendre constants for some complex continued fraction expansions over imaginary quadratic fields

Ei H., Nakada H., Natsui R.

Journal of Number Theory （Journal of Number Theory）  238   106 - 132 2022年09月

ISSN  0022314X

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We consider some types of complex continued fraction expansions and their associated maps of the Euclidean fields Q(−d), d=1,2,3,7 and 11 introduced by Hurwitz (1887) [7], Lakein (1973) [10] and Shiokawa et al. (1975) [20]. We show that there exists the Legendre constant for every type of continued fraction expansions introduced by them improving the proof by Ei et al. (2019) [4] in the case of the one by A. Hurwitz with Q(−1).

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Orbits of N-expansions with a finite set of digits

de Jonge J., Kraaikamp C., Nakada H.

Monatshefte fur Mathematik （Monatshefte fur Mathematik）  198 （ 1 ） 79 - 119 2022年05月

ISSN  00269255

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For N∈ N≥ 2 and α∈ R such that 0<α≤N-1, we define Iα: = [α, α+ 1] and Iα-:=[α,α+1) and investigate the continued fraction map Tα:Iα→Iα-, which is defined as Tα(x):=Nx-d(x), where d: Iα→ N is defined by d(x):=⌊Nx-α⌋. For N∈ N≥ 7, for certain values of α, open intervals (a, b) ⊂ Iα exist such that for almost every x∈ Iα there is an n∈ N for which Tαn(x)∉(a,b) for all n≥ n. These gaps (a, b) are investigated using the square Υα:=Iα×Iα-, where the orbitsTαk(x),k=0,1,2,… of numbers x∈ Iα are represented as cobwebs. The squares Υα are the union of fundamental regions, which are related to the cylinder sets of the map Tα, according to the finitely many values of d in Tα. In this paper some clear conditions are found under which Iα is gapless. If Iα consists of at least five cylinder sets, it is always gapless. In the case of four cylinder sets there are usually no gaps, except for the rare cases that there is one, very wide gap. Gaplessness in the case of two or three cylinder sets depends on the position of the endpoints of Iα with regard to the fixed points of Iα under Tα.

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AN ENTROPY PROBLEM OF THE α-CONTINUED FRACTION MAPS

Nakada H.

Osaka Journal of Mathematics （Osaka Journal of Mathematics）  59 （ 2 ） 453 - 464 2022年04月

ISSN  00306126

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We show that the entropy of the α-continued fraction map w.r.t the absolutely continuous invariant probability measure is strictly less than that of the nearest integer continued fraction map when 0 < α <3−√5 2. This answers a question by C. Kraaikamp, T. A. Schmidt, and W. Steiner (2012). To prove this result we make use of the notion of the geodesic continued fractions introduced by A. F. Beardon, M. Hockman, and I. Short (2012).

On the Ergodic Theory of Tanaka–Ito Type α-continued Fractions

Nakada H., Steiner W.

Tokyo Journal of Mathematics （Tokyo Journal of Mathematics）  44 （ 2 ） 451 - 465 2021年12月

ISSN  03873870

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We show the ergodicity of Tanaka–Ito type α-continued fraction maps and construct their natural extensions. We also discuss the relation between entropy and the size of the natural extension domain.

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Analysis of generalized continued fraction algorithms over polynomials

Berthé V., Nakada H., Natsui R., Vallée B.

Finite Fields and their Applications （Finite Fields and their Applications）  73 2021年08月

ISSN  10715797

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We study and compare natural generalizations of Euclid's algorithm for polynomials with coefficients in a finite field. This leads to gcd algorithms together with their associated continued fraction maps. The gcd algorithms act on triples of polynomials and rely on two-dimensional versions of the Brun, Jacobi–Perron and fully subtractive continued fraction maps, respectively. We first provide a unified framework for these algorithms and their associated continued fraction maps. We then analyse various costs for the gcd algorithms, including the number of iterations and two versions of the bit-complexity, corresponding to two representations of polynomials (the usual and the sparse one). We also study the associated two-dimensional continued fraction maps and prove the invariance and the ergodicity of the Haar measure. We deduce corresponding estimates for the costs of truncated trajectories under the action of these continued fraction maps, obtained thanks to their transfer operators, and we compare the two models (gcd algorithms and their associated continued fraction maps). Proving that the generating functions appear as dominant eigenvalues of the transfer operator allows indeed a fine comparison between the models.

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On the Legendre and the Lenstra constants for complex continued fractions introduced by J. Hurwitz

Nakada H.

Acta Arithmetica （Acta Arithmetica）  196 （ 3 ） 269 - 289 2020年

ISSN  00651036

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On the construction of the natural extension of the Hurwitz complex continued fraction map

Ei H., Ito S., Nakada H., Natsui R.

Monatshefte fur Mathematik （Monatshefte fur Mathematik）  188 （ 1 ） 37 - 86 2019年01月

ISSN  00269255

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© 2018, Springer-Verlag GmbH Austria, part of Springer Nature. We consider the Hurwitz complex continued fraction map associated to the Gaussian field Q(i). We characterize the density function of the absolutely continuous invariant measure for the map associated to the Hurwitz continued fractions. For this reason, we construct a representation of its natural extension map (in the sense of an ergodic measure preserving map) on a subset of C× C. This subset is constructed by the closure of pairs of the n-th iteration of a complex number by the Hurwitz complex continued fraction map and -QnQn-1, where Qn is the denominator of the n-th convergent of the Hurwitz continued fractions. The absolutely continuous invariant measure for the natural extension map is induced from the invariant measure for Möbius transformations on the set of geodesics over three dimension upper-half space. Then the absolutely continues invariant measure for the Hurwitz continued fraction map is given by its marginal measure.

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A Piecewise rotation of the circle, IPR maps and their connection with translation surfaces

Inoue K., Nakada H.

Lecture Notes in Mathematics （Lecture Notes in Mathematics）  2213   393 - 431 2018年

ISSN  00758434

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© Springer International Publishing AG, part of Springer Nature 2018. For given positive integers dj, 1 ⩽ j⩽ ∀ s, ∑j=1sdj even, we construct a piecewise rotation map of the circle with ∑j=1sdj+s discontinuous points such that its critical iterates generate translation surfaces with singularity orders dj, 1 ⩽ j⩽ s, and with any Rauzy class associated to this singularity orders. The construction of the piecewise rotation map is combinatorial, on the other hand, the construction of the translation surfaces is based on the idea by Cruz and da Rocha.

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Farey maps, Diophantine approximation and Bruhat-Tits tree

仲田 均

Finite Fields and their Applications 30   14 - 32 2014年11月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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形式的べき級数に関する Farey map を Bruhat-Tits tree の中で表現した。また、Farey map に関するエルゴード理論的性質をいくつか証明した。

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On the equivalence relations of α-continued fractions

仲田 均

Indagationes Mathematicae 25 （ 4 ） 800 - 815 2014年06月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り,  ISSN  0019-3577

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α-連分数の同値関係が α が減少するにつれて群作用の同値関係とどのように異なっていくかを示した。

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Fine costs for Euclid's algorithm on polynomials and Farey maps

仲田 均

Advances in Applied Mathematics 54   27 - 65 2014年03月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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有限体を係数をする多項式に対するユークリッドアルゴリズムに関して、fine bit の概念を導入し、コストに関する大数の法則を証明した。

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A refined Kurzweil type theorem in positive characteristic

仲田 均

Finete fields and their Applications 20   64-75 2013年03月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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非アルキメデス数体上のディオファンタス近似に対して、Kurzweil型定理を証明した。

On the Existence of a Darling-Kac Set for the Renormalized Rauzy Map

仲田 均, 井上 賀絵

Tokyo Journal of Mathematics 34 （ 2 ） 289-302 2011年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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interval exchange に関する renormalized Rauzy induction に関して Darling-Kac 集合が存在することを証明した。

Metric inhomogeneous Diophantine approximation on the field of formal Laurent series

仲田 均

Acta Arithmetica 150 （ 2 ） 129-142 2011年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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非アルキメデス数体上の非斉次ディオファンタス近似の問題について、ある測度論的性質を証明した。

On Schweiger's problems on fully subtractive algorithms

仲田 均

Israel Journal of Mathematics 186   285-296 2011年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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Fully subtractive algorithm に関する Schweiger の予想を証明した。

On the Lenstra constant associated to the Rosen continued fractions

仲田 均

Jouranl of the European Mathematical Society 12 （ 1 ） 55-70 2010年01月

研究論文（学術雑誌）, 単著, 査読有り

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連分数変換において Legendre 定数と Lenstra 定数が一致することを証明した。

Generalized Brjuno functions associated to α-continued fractions

仲田 均

Journal of Approximation Theory 162 （ 1 ） 24-41 2010年01月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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α-連分数に関するブルノ関数を定義し、その性質を議論した。特に、α=0の場合に semi-Brjuno数の概念を与え、Brjuno数との関係を論じた。

Metric and arithmetic properties of mediant-Rosen maps

仲田 均

Acta Arithmetica 137 （ 4 ） 295-324 2009年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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Rosen型連分数に関して、中間近似を与える写像のエルゴード理論に関するいくつかの新しい結果を与えた。

Asymptotic behavior of the number of solutions for non- Archimedean Diophantine approximations with restricted denominators

仲田 均

Finite Fields and their applications 14 （ 4 ） 849-866 2008年11月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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非アルキメデス的数体上のディオファンタス近似に関して、近似有理関数の分母を既約に制限した場合について、大数の強法則を証明した。

The non-monotonicity of the entropy of α-continued fraction transformations

仲田 均

Nonlinearity 21 （ 6 ） 1207-1225 2008年06月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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α-連分数変換のエントロピーを α の関数として考えるとき、それが単調でないことを厳密に証明した。

Some ergodic property of the negative slope algorithm

仲田 均

Osaka Journal of Mathematics 44 （ 3 ） 667--687 2007年09月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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3-interval exchange から派生する negative slope algorithm に関してその絶対連続な不変測度の密度関数を具体的に与えた。

Invariance principles for Diophantine approximation of formal Laurent series over a finite base field

仲田 均

Finite Fields and Their Applications 13 （ 3 ） 535-545 2007年07月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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形式的べき級数のディオファンタス近似の解に関する invariance principle を証明した。

Exchangeable, Gibbs and equilibrium measures for Markov subshifts

仲田 均

Ergodic Theory and Dynam. Systems 27 （ 2 ） 321-339 2007年04月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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格子モデルにおける平衡測度と exchangeability についての関係を明らかにした。

Exchangeable measures for subshifts

仲田 均

Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist. 42 （ 6 ） 727-751 2006年11月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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可算状態を持つMarkov連鎖に対してexchangeable measure の特徴付けを与えた。

Arithmetic distributions of convergents arising from Jacobi-Perron Algorithm

仲田 均

Indagationes Mathematicae 17 （ 2 ） 169-185 2006年06月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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Jacobi-Perron algorithm に関してその近似分数が mod k である意味で一様分布していることを任意の自然数 k に対して証明した。

Asymptotic behavior of the number of solutions for non-Archimedean Diophantine approximations

仲田 均

Acta Arithmetica 125 （ 3 ） 169-185 2006年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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非アルキメデス数体上のディオファンタス近似で近似分母が既約多項式である場合の解の個数に関して大数の法則を証明した。

On the central limit theorem for non-Archimedean Diophantine approximations

仲田 均

Manuscripta Mathematica 117 （ 1 ） 51-64 2005年04月

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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非アルキメデス数体上のディファンタス近似の解の個数に関して中心極限定理の成立を証明した。

On the mixing coefficients of piecewise monotonic maps

仲田 均

Israel Journal of Mathematics 148   1 - 10 2005年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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多くの1次元写像について、reverse phi-mixing の性質が成立していることをっ証明した。

On non-archimedean diophantine approximations

仲田 均

数理解析研究所講究録  （ 1384 ） 226-230 2004年07月

研究論文（大学，研究機関等紀要）, 単著

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非アルキメデス的数体上のディオファンタス近似の metric theory に関するいくつかの結果を紹介した。

Mod 2 normal numbers and skew products.

仲田 均

Studia Math. 165 （ 1 ） 53-60 2004年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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mod 2 拡大のエルゴード性の十分条件を与えると共に、非エルゴード的となる例も与えた。

Trimmed sums for non-negative, mixing stationary processes.

仲田 均

Stochastic Process. Appl. 104 （ 2 ） 173-192 2003年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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continued fraction mixing となる確率変数列の first maxima に関する trimmed sum に関して議論し、新しい結果を得た。

Some strong mixing properties of a sequence of random variables arising from $alpha$-continued fractions.

仲田 均, 夏井 利恵

Stoch. Dyn. 3 （ 4 ） 463-476 2003年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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殆どすべてのα, 1/2 < α < 1 についてα-連分数変換がφ-mixing でないことを証明した。

The modified Jacobi-Perron algorithm over $Fsb q(X)sp d$.

仲田 均, 井上 賀絵

Tokyo Journal of Mathematics 26 （ 2 ） 447-470 2003年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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非アルキメデス数体上の Jacobi-Perron アルゴリズムに関してその近似分数分母の次数がlinearに増大することを証明した。

On metric Diophantine approximation in positive characteristic

仲田 均, 井上 賀絵

Acta Arith. 110 （ 3 ） 205-218 2003年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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非アルキメデス数体上のDiophantus近似について、そのmetric theoryを議論した。

On the metrical theory of continued fraction mixing fibred systems and its application to Jacobi-Perron algorithm.

仲田 均, 夏井 利恵

Monatsh. Math. 138 （ 4 ） 267-288 2003年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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Jacobi-Perron algorithm が continued fraction mixing の性質を持つことを示し、その性質を用いてtrimmed sum について議論した。

Semisimple extensions of irrational rotations.

仲田 均

Studia Math. 156 （ 1 ） 31-57 2003年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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非コンパクト群拡大のエルゴード性についていくつかの新しい結果を与えた。

Some metric properties of $alpha$-continued fractions.

仲田 均, 夏井 利恵

J. Number Theory 97 （ 2 ） 287-300 2002年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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α-連分数変換に対してψ-mixing を仮定せずにtrimmed sum の結果の成立を証明した。

Invariant measures and asymptotics for some skew products.

仲田 均

Israel J. Math. 128 （ 1 ） 93-134 2002年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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exchangeable measure に関する de Finetti 型の定理のマルコフシフトの場合について証明した。

On a problem of Schweiger concerning normal numbers.

仲田 均

J. Number Theory 86 （ 2 ） 330-340 2001年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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異なった１次元写像のそれぞれに定義された正規数全体の集合が互いに一致するような例を構成し、Schweiger の提出した問題を否定的に解決した。

On continued fraction expansions in positive characteristic: equivalence relations and some metric properties.

仲田 均

Expo. Math. 18 （ 4 ） 257-284 2000年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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Artin continued fraction に付随する写像の力学系としての性質について議論している。

On normal numbers for continued fractions.

仲田 均

Ergodic Theory Dynam. Systems 20 （ 5 ） 1405-1421 2000年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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α連分数展開の正規数と概念がαに依らないことを証明した。

Multiple recurrence of Markov shifts and other infinite measure preserving transformations.

仲田 均

Israel J. Math. 117 （ 1 ） 285-310 2000年

研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り

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マルコフ連鎖の多重再帰性の多重度がKakutani-Parry index と一致していることを証明した。

自然拡大変換とディオファンタス近似論

数学の楽しみ６（日本評論社） 1998年

共著

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単位円周上の無理数回転と連分数の関係を解説し、さらに、数論的変換のnatural extension の応用について述べている。 Pp 36 - 47

On multiple recurrence of infinite measure preserving transformations

Workshop in Ergodic Theory and Related Fields at KAIST(太田，韓国) 1997年

研究論文（研究会，シンポジウム資料等）, 単著

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無限大の不変測度を持つエルゴード的変換のmultiple recurrenceの問題と等差数列に関するErdos 予想について解説した。

Dynamics of Complex Continued Fractions and Geodesics over H3

'The Proceedings of International Conference on Dynamical Systems and Chaos' ed. by N. Aoki et al pub. by World Scientific    192-199 1995年

研究論文（研究会，シンポジウム資料等）, 単著

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クライン群の上半空間の基本領域における geodesic flow の関係の応用として、ほとんどすべての複素数に対して、虚２次体のディオファンタス近似の解の誤差の argument が一様に分布していることを示した。

Continued Fractions, Geodesic Flows and Ford Circles

'Algorithms, Fractals and Dynamics' edited by Y. Takahashi, pub. by Plenum    179-191 1995年

単著

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Hecke群の Rosen型連分数を少し変形することにより、Hecke群の極限集合上での運動の作る同値関係に付随した連分数を構成した。特に偶数次のHecke群の場合さらにその連分数を導く変換の natural extension を構成し、さまざまな測度論的性質を導きだした。

Koksma's Inequality and Group Extensions of Kronecker Transformations

J. Aaronson, M. Lemanczyk, C. Mauduit and H. Nakada

'Algorithms, Fractals and Dynamics' edited by Y. Takahashi, pub. by Plenum    27 - 50 1995年

共著

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Kronecker 変換に対する non-compact group extension のエルゴード理論的性質を議論している。特にエルゴード的になるための必要条件の他に squashable とよばれる性質を持つための十分条件を与えている。

Ergodic theory of Rosen's continued fractions

Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis (Alexandria, Egypt) 1993年

研究論文（研究会，シンポジウム資料等）, 単著

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Hecke 群上のディオファンタス近似とRosen 型連分数の関係についてgeodesic flow の問題と併せて解説した。

Duffin-Schaeffer Theorem of Diophantine Approximation for Complex Numbers

H. Nakada and G. Wagner

Asterisque vol.198-199-200   259-263 1991年

共著

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複素数のディオファンタス近似論において、実数と同じように Duffin-Schaeffer 型の定理がなりたつことを証明した。特に、このときの挙動は１次元的であることを示した。

The metrical theory of complex continued fractions

Acta Arithmetica 56    279-289 1991年

単著

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A. Schmidt により定義された複素連分数と上半空間上のクライン群の基本領域上の geodesic flow のエルゴード性を結びつけて複素連分数の測度論的性質に関する結果を導いている。特に近似分母の絶対値の指数的増大度の定数を完全に決定した。

Geodesic flows and diophantine approximations

Stability Theory and Related Topics in Dynamical Systems ed. by G. Ikegami    124-127 1989年

単著

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第１種 zonal フックス群のつくる基本領域上の geodesic flow が混合的であることをより、この flow と１次元単位円周上の回転の flow との直積flow はエルゴード的となる。このことを modular 群に応用して、ディオファンタス不等式の解の分母に対する強ベンフォードの法則をほとんどすべての実数に対して証明した。

On metric diophantine approximation of complex numbers, complex continued fractions

Sem. Th. Nomb. Bordeaux    1987-1988　 1989年

単著

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Hurwitz 型の複素連分数が同値関係の問題に対して有効でないことに注意し、一方エルゴード理論的には良い性質を持っていることを示した。(10頁)

On metrical theory of diophantine approximation over imaginary quadratic field

Acta Arithmetica 51    392-403 1988年

単著

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虚２次体のディオファンタス近似論の問題とその体のつくるクライン群の上半空間の基本領域における geodesin flow の関係を horoshpere を用いて説明した。それによりディオファンタス不等式の解に対する大数の法則を証明した。

Approximations of real numbers by the sequence {n・α} and their metrical theory

Sh. Ito and H. Nakada

Acta Math. Hung. 52    91-100 1988年

共著

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単位円周上の無理数回転により他の点を近似する問題で、各点を回転数の主近似を用いて表現する。このときの各点の展開の収束の誤差の分布をほとんどすべての円周上の点に対して決定した。特にこの問題で逆を持たないエルゴード変換の natural extension の表現の問題が重要な役割を持つことを示した。

On ergodic theory of A. Schmidt's complex continued fractions over Gaussian field

Monatsh. Math. 105    131-150 1988年

単著

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A. Schmidt により定義された複素連分数と上半空間上のクライン群の運動の関係を明らかにした。それにより、これに付随する連分数変換の絶対連続不変測度が上半空間上の双曲測度から自然に導かれることを示した。その応用として連分数の測度論的性質を示した。

Metric diophantine approximation on some Fuchsian groups

RIMS 講究録　599    74-81 1986年

単著

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第１種 zonal フックス群において、limit point を parabolic point により近似するディオファンタス近似論を取り扱っている。その測度論的性質が基本領域上の geodesic flow のエルゴード性から従うことを示した。特に Hecke 群の場合に大数の強法則を極限の定数も含めて完全に証明した。

On Natural Extensions of Transformations Associated with some F-expansions

Stochastic Processes and Their Applications 21 1985年

研究論文（研究会，シンポジウム資料等）, 共著

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多次元のF-展開に付随した変換の natural extension についての一般論の解説をした。 p 48

On natural extensions of transformations related to diophantine approximations

Sh. Ito and H. Nakada

Number Theory and Combinatrics ed. by J. Akiyama et al.    185-207 1985年

共著

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数論的変換の中で natural extension の構成できるものを扱いその絶対連続な不変測度の密度関数の計算を行っている。さらに、構成の応用として実数の近似、実数の組の同時近似などの誤差の分布の理論を議論した。

On a classification of PL-homeomorphisms of a circle

Probability Theory and Mathematical Statistics, Lecture Notes in Math. 1021, Springer    474-480 1983年

単著

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単位円周上の２つの異なった傾きを持つ PL-homeomorphisms に対して、そのエルゴード理論的性質を議論した。特に、回転数が同じでもⅢ-１型で互いに同型でないものが非可算個存在することを示した。

On a family of locally finite invariant measures for a cylinder flows

Comment. Math. Univ. St. Paul. 31    183-189 1982年

単著

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単位円周上の無理数回転から作られる一様分布列の誤差から導かれる cylinder flow に対して、不変測度が一意でないことを示した（W. Veech の問題の解決）。さらにほとんどすべての場合、不変測度は非可算個存在することを示した。

Metrical theory for a class of continued fraction transformations and their natural extensions

Tokyo J. Math. 4    399-426 1981年

単著

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nearest integer 型実連分数変換、Hurwitz の特異連分数変換を含む １パラメーターの連分数変換のクラスに対して、natural extension が構成されることを示した。それによりこのクラスに属する各変換の絶対連続不変測度の密度関数を完全に決定した。

On unimodal linear transformatios and chaos Ⅱ

Sh. Ito, S. Tanaka and H. Nakada

Tokyo J. Math. 2    241-259 1979年

共著

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単位区間上で定義された Unimodal linear な変換で傾きの絶対値が異なるものの力学系としての性質を与えた。特に、絶対連続な不変測度が存在する場合その密度関数を決定し、一方、存在しない場合ほとんどすべての点が一つの安定周期軌道に近づくことを証明した。

On unimodal linear transformatios and chaos

Sh. Ito, S. Tanaka and H. Nakada

Proc. of Jap. Acad. 55 Ser.A    231-236 1979年

研究論文（研究会，シンポジウム資料等）, 共著

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単位区間上で定義された Unimodal linear な変換のエルゴード理論的分類を与えた。特に、安定周期点の存在、非混合的絶対連続不変測度の存在、混合的絶対連続不変測度の存在、以上３種類への分類を完全に与えた。

On unimodal linear transformatios and chaos Ⅰ

Sh. Ito, S. Tanaka and H. Nakada

Tokyo J. Math. 2    221-239 1979年

共著

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単位区間上で定義された Unimodal linear な変換で傾きの絶対値が同じものの力学系としての性質を与えた。特に、位相的エントロピーを計算し、それが０でないとき絶対連続な不変測度の密度関数を決定した。

On the invariant measure for the transformations associated with some real continued fractions

H. Nakada, Sh. Ito and S. Tanaka

Keio Eng. Rep. 30    159-175 1977年

共著

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Hurwitz型複素連分数変換の実数部分に現れる nearest integer 型の実連分数変換の不変測度の密度関数を変換の natural extension を構成することにより決定した。この過程で Hurwitz の特異連分数変換を自然に導き出している。

On the Kuzmin's theorem for the complex continued fractions

Keio Eng. Rep. 29    93-108 1976年

単著

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一般に有限型値域構造を持つ変換のクラスに対して様々な様々なエルゴード理論的性質を示した。その応用としてHurwitz型複素連分数に関する様々な測度論的性質を示した。